「統計解析のための線形代数」復習筆記 27
\[X=\left( \begin{array}{c} x_{1} & x_{12} & \cdots & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n}\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn} \end{array} \right), \underline{a}=\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{array} \right), \underline{0}=\left( \begin{array}{c} \underline{0}\\ \underline{0}\\ \vdots\\ \underline{0}\\ \end{array} \right)\]
用上述來表達的同次連立一次方程式 (system of homogeneouse linear equations)：
\[X\underline{a}=\underline{0}\]
即： \[\begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} x_{11}a_1+x_{12}a_2+\cdots+x_{1n}a_n = 0\\ x_{21}a_1+x_{22}a_2+\cdots+x_{2n}a_n = 0\\ \cdots\\ x_{n1}a_1+x_{n2}a_2+\cdots+x_{nn}a_n = 0\\ \end{array} \right. \end{align}\]
這樣的方程式與之前的不同，等號右邊全部都是 \(0\). 如果係數矩陣的行列式 \(|X|\)
\[|X|=\begin{vmatrix} x_{1} & x_{12} & \cdots & x_{1n}\\ x_{21} & x_{22} & \cdots & x_{2n}\\ \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ x_{n1} & x_{n2} & \cdots & x_{nn} \end{vmatrix}\neq0\]
那麽這個連立方程式的解，我們通過克萊姆法則公式知道有且僅有 \(\underline{a}=\underline{0}\)， 即 \(a_1=a_2=\cdots=a_n=0\) (自明解, trivial solution)
此外，如果此連立方程組有非自明解 (\(\underline{a}\neq0\)) 那麽相應的， \(|X|=0\)。多元變量分析時我們多關心的是非自明解。
重點記住：
\(\underline{a}\neq0\) 時， \(|X|=0\)；
\(\underline{a}=0\) 時, \(|X|\neq0\)
方程組 \(\begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} a_1+2a_2 = 0\\ 2a_1+a_2 = 0\\ \end{array} \right. \end{align}\) 的係數矩陣 \(\left( \begin{array}{c} 1 & 2 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right)\) 的行列式 \(\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\\ \end{vmatrix}=-3\neq0\) 所以此同次連立一次方程組的解有且僅有 \(a_1=a_2=0\) (自明解)。
方程組 \(\begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} -a_1+2a_2 = 0 \;\;\;\;\;\;\;(1)\\ 2a_1-4a_2 = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;(2)\\ \end{array} \right. \end{align}\)
的係數行列式 \(\begin{vmatrix} -1 & 2\\ 2 & -4\\ \end{vmatrix}=0\)，因此除了自明解 \(a_1=a_2=0\) 之外，還有非自明解。由於 \((2)=-2\times(1)\)，\((1),(2)\) 實質上是一個相同的方程式。 按照前述方法，我們設定 \(a_2=s\) (\(s\) 為非零任意實數)，則 \(a_1=2s\)。所以可以將這個方程組的非自明解寫作： \[\underline{a}=s\left( \begin{array}{c} 2\\ 1 \end{array} \right), s 為非零任意實數。\]
\(\star 自明解和非自明解同時表述時可以寫作: \underline{a}=s\left( \begin{array}{c} 2\\ 1 \end{array} \right),\\ s 為任意實數。\)
- 方程組 \(\begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} (1-\lambda)a_1+2a_2 = 0 \;\;\;\;\;\;\;(1)\\ 4a_1+(3-\lambda)a_2 = 0 \;\;\;\;\;\;\;(2)\\ \end{array} \right. \end{align}\) 有非自明解的條件為：
\[\begin{align}
\begin{vmatrix}
1-\lambda & 2\\
4 & 3-\lambda
\end{vmatrix} & = (1-\lambda)(3-\lambda)-4\times2 \\
& = 3-4\lambda+\lambda^2-8 \\
& = \lambda^2-4\lambda-5 \\
& = (\lambda+1)(\lambda-5) \\
& = 0
\end{align}\\
\therefore \lambda=-1, 5\]
- \(\lambda=-1\) 時，代入 \((1),(2)\) 得
\(\begin{align} \left\{ \begin{array}{ll} 2a_1+2a_2 = 0 \;\;\;\;\;\;\;(1)\\ 4a_1+4a_2 = 0 \;\;\;\;\;\;\;(2)\\ \end{array} \right. \end{align}\) 為實質上只有一個方程 \(a_1+a_2=0\) 的方程組。令 \(a_2=s\)， 則 \(a_1=-s\)。因此此時方程組的非自明解為 \(\underline{a}=s\left( \begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array} \right)\) (\(s\) 為 \(0\) 意外的任意實數)。 - \(\lambda=5\) 時，同理可得， \(\underline{a}=t\left( \begin{array}{c} 1\\ 2 \end{array} \right)\) (\(t\) 為 \(0\) 意外的任意實數)。
- 方程組 \((\zeta)\begin{align} \left\{ \begin{array}{r} (5-\lambda)a_1+2a_2-4a_3 = 0\\ -3a_1-\lambda a_2+4a_3 = 0\\ 6a_1+6a_2-(1+\lambda)a_3 = 0\\ \end{array} \right. \end{align}\) 擁有非自明解的條件為： \[\begin{vmatrix} 5-\lambda & 2 & -4 \\ -3 & -\lambda & 4 \\ 6 & 6 & -(1+\lambda) \end{vmatrix}=0\]
按照以前我們做過的練習將行列式按照 \(\lambda\) 展開： \[-\lambda^3+4\lambda^2-\lambda-6=\\ -(\lambda+1)(\lambda-2)(\lambda-3)=0\\ \therefore \lambda=-1,2,3\]
- \(\lambda = -1\) 時， \((\zeta)\) 變為：\(\begin{align} \left\{ \begin{array}{r} 6a_1+2a_2-4a_3 = 0\\ -3a_1+ a_2+4a_3 = 0\\ 6a_1+6a_2 = 0\\ \end{array} \right. \end{align}\)，此時的非自明解為 \(\underline{a}=s\left( \begin{array}{c} 1\\ -1\\ 1 \end{array} \right)\) (\(s\) 為 \(0\) 以外的任意實數)
- \(\lambda = 2\) 時， \((\zeta)\) 變為：\(\begin{align} \left\{ \begin{array}{r} 3a_1+2a_2-4a_3 = 0\\ -3a_1-2a_2+4a_3 = 0\\ 6a_1+6a_2-3a_3 = 0\\ \end{array} \right. \end{align}\)，此時的非自明解為 \(\underline{a}=t\left( \begin{array}{c} 6\\ -5\\ 2 \end{array} \right)\) (\(t\) 為 \(0\) 以外的任意實數)
- \(\lambda = 3\) 時， \((\zeta)\) 變為：\(\begin{align} \left\{ \begin{array}{r} 2a_1+2a_2-4a_3 = 0\\ -3a_1-3a_2+4a_3 = 0\\ 6a_1+6a_2-4a_3 = 0\\ \end{array} \right. \end{align}\)，此時的非自明解為 \(\underline{a}=u\left( \begin{array}{c} 1\\ -1\\ 0 \end{array} \right)\) (\(u\) 為 \(0\) 以外的任意實數)
\(3, 4\) 與後面的固有值問題關係深刻。
)